segunda-feira, 6 de fevereiro de 2012
Crescimento Populacional: Modelo de Malthus
Este post trata-se mais uma vez da aplicação de conceitos matemáticos ao contexto real. Neste caso, são as equações diferencias e a taxa específica os principais conteúdos inerentes ao referido no título: Modelo de Malthus.
Problemas populacionais nos levam fatalmente às perguntas:
1. Qual será a população de um certo local ou meio ambiente em alguns anos?
2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou deste meio ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies?
Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionado com
este problema, consideraremos o modelo matemático mais simples para
tratar sobre o crescimento populacional de algumas espécies, conhecido
como o Modelo de Crescimento Exponencial de Malthus, que estabelece
que a taxa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por
dN/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se N = N(t) mede a população, nós temos,
onde a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k ≥ 0, nós
teremos crescimento e se k ≤ 0, nós teremos decaimento.Esta equação linear tem solução
onde N0 é a população inicial, isto é N(0) = N0. Podemos concluir o
seguinte:
1. Se k > 0, a população cresce e continua a expandir para ∞.
2. Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0, o que significa que
ocorrerá extinção da população.
O primeiro caso não é adequado e o modelo pode não funcionar bem
a longo prazo. O argumento principal para isto vem das limitações do ambiente. A complicação é que o crescimento populacional é eventualmente limitado por algum factor, usualmente dentre aqueles recursos
essenciais. Quando uma população está muito distante de seu limite
de crescimento ela pode crescer de forma exponencial, mas quando está
próxima de seu limite o tamanho da população pode variar.
sábado, 4 de fevereiro de 2012
Cálculo de Áreas com Integrais: exercício
No que diz respeito ao cálculo de áreas utilizando as integrais, encontrei um exercício que, na minha opinião é bastante relevante, na medida em que se encontra explicado o raciocínio envolvido na sua resolução.
O Método de Substituição no Cálculo Integral
Falando agora, no Cálculo Integral, é importante saber que métodos de resolução existem e, sobretudo mostrar exemplos que de certam forma sejam relevantes. Em alguns casos, para se encontrar o valor de um determinado integral, torna-se conveniente fazer uma substituição de variável.
Para perceber melhor este método, julgo pertinente mostrar pelo menos um exercício resolvido:
sexta-feira, 3 de fevereiro de 2012
Curiosidade !
Encontrei este pequeno texto num documento e a título de curiosidade e resolvi partilhar com vocês:
"Sabias que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat
introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar
problemas geométricos em problemas algébricos e estudar
analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande
impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os
cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a
procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em
estudo. A partir daí, todo o estudo se des
envolve em torno das
propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de
coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu
a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas
por relações ent
re variáveis.
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que
Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a
uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto.
Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um
processo de traçar uma tangente a um
gráfico num dado ponto. Esta
dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema
da Tangente”."
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